Figuras geométricas principales

La geometría es una rama de las matemáticas encargada de estudiar las propiedades de las figuras en el plano o el espacio. Por eso hablamos de conceptos como puntos, rectas, planos, politopos (como paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.).

Además, la geometría es base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico, y sus aplicaciones son muchas: en la física aplicada, en mecánica, arquitectura, geografía, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc., En realidad, la geometría lo impregna todo, incluyendo la preparación de diseños e incluso en la fabricación de artesanía.

En cuanto a las figuras geométricas, se trata de superficies delimitadas por líneas (curvas o rectas) o espacios delimitados por superficies. En el primer caso, nos encontramos ante polígonos, círculos, circunferencias, elipses… y, en el segundo, se trataría de poliedros.

Así, un polígono sería una figura geométrica plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que encierran una región en el plano. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersecan se llaman vértices. En cuanto a los poliedros, se trata de cuerpos geométricos con caras planas que encierran un volumen finito. Son, por tanto, tridimensionales.

Estos son los principales tipos de figuras geométricas:

Triángulo. Se trata de un polígono formado por tres lados y tres ángulos. La suma de todos sus ángulos siempre es 180 grados. Para calcular el área se emplea la siguiente fórmula: Área del triángulo = (base x altura) / 2. Además, tenemos tres tipos de triángulos: isósceles, escaleno y equilátero.

Cuadrado. En el caso del cuadrado, se trata de un polígono de cuatro lados, siendo todos ellos iguales. Además, sus cuatro ángulos son de 90 grados. Su área se calcula mediante esta fórmula: Área del cuadrado = lado al cuadrado.

Rectángulo. El rectángulo es, al igual que el cuadrado, un polígono de cuatro lados, con la diferencia de que en este caso son iguales dos a dos. Sus cuatro ángulos son de 90 grados cada uno. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula: Área del rectángulo = base x altura.

Rombo. El rombo es un polígono de cuatro lados iguales, pero sus cuatro ángulos son distintos de 90º. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula: Área del rombo= (diagonal mayor x diagonal meno)/ 2.

Trapecio. En el caso del trapecio, se trata de un polígono de cuatro lados, pero sus cuatro ángulos son distintos de 90 grados. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula: Área del trapecio = [(base mayor + base menor).altura] / 2.

Paralelogramo. En cuanto al paralelogramo, se trata de un polígono de cuatro lados paralelos dos a dos. Su área se calcula con esta fómula: Área del paralelogramo = base x altura.

Pentágono. El pentágono regular es un polígono de cinco lados iguales y cinco ángulos iguales. El área de esta figura se calcula con esta fórmula: Área del pentágono = (perímetro x apotema) / 2.

Hexágono. El hexágono regular es un polígono con seis lados iguales y seis ángulos iguales. Los triángulos formados son equiláteros, y el área de esta figura se calcula mediante la fórmula: Área del hexágono = (perímetro x apotema) / 2.

Círculo. Por último, el círculo es la región delimitada por una circunferencia, siendo ésta el lugar geométrico de los puntos que equidistan del centro. El área de esta figura se calcula mediante esta fórmula: Área del círculo = 3’14 x radio al cuadrado.

Click en el siguiente video para conocer mas sobre las figuras geométricas

Historia de la geometría

Para recordar la historia de la geometría, tenemos que remontarnos al segundo milenio a.C. en la zona de Egipto y Mesopotamia. La geometría básica ya se empleaba para calcular los volúmenes, los ángulos, los espacios y las longitudes, pero también se utilizaba de una manera más pragmática en los campos de la topografía, la construcción o la astronomía.

Durante el siglo VII a.C., el matemático griego Tales de Mileto comenzó a resolver distintos problemas matemáticos para calcular tanto la superficie de las pirámides como la distancia que separaba a los barcos de la costa.

Fue entonces cuando nació el famoso teorema de Tales, principio de la geometría muy enseñado en todas las escuelas de todo el mundo.

En la Edad Media, las matemáticas árabes contribuyeron en gran medida a la expansión de la geometría y al desarrollo de sus diferentes principios. Este período marcó el nacimiento de la geometría algebraica, un área de las matemáticas aplicadas, cuyo interés residía en el uso del álgebra para resolver problemas geométricos (curvas, espacios, etc.).

Finalmente, en las edades moderna y contemporánea, los matemáticos e inventores más ilustres, como René Descartes o Pierre de Fermat, desarrollaron la geometría no euclídea y la ciencia cuantitativa de la física y la química. Luego apareció la formación de la simetría durante el siglo XIX.

Los fundamentos de la geometría

Algunas nociones imprescindibles de geometría

Para saber reconocer una unidad de medida, aprender a representar en el espacio o a derivar, tendrás que familiarizarte con el ABC de la geometría.

En los libros de texto o durante la primera clase de geometría para principiantes, el alumno se enfrentará a los teoremas y principios más sencillos de esta rama de las matemáticas. No obstante, no te preocupes, con un poco de trabajo y una buena dosis de motivación, podrás aprender estas reglas básicas en tan solo unos meses.

Aquí te dejamos algunas reglas básicas indispensables de la geometría:

Vocabulario de las figuras: tangente, rectas paralelas, secantes, perpendiculares;

Ángulos: ángulo adyacente, ángulo opuesto, ángulo interno y externo, bisectriz;

Distancia: punto a punto, círculo y esfera, mediatriz, distancia ultramétrica, distancia de Hausdoff;

Plano cartesiano;

Triángulo isósceles, triángulo perpendicular, triángulo equilatero;

Teorema de Tales y teorema de Pitágoras...

Es un error común pensar que solo los doctorandos y los investigadores son capaces de llevar a cabo las teorías más complejas de la geometría. En realidad, la geometría es solo una cuestión de lógica: ¿por qué no desarrollas tu capacidad de reflexión a través de los juegos de lógica que hay en internet?

Los diferentes tipos de geometría

¿Quieres convertirte en un experto a la hora de representar gráficamente el espacio?

En el sentido estricto del término, hablamos de geometría para referirnos a la geometría clásica y euclídea que los profesores de matemáticas de todo el mundo enseñan en la escuela. En el instituto, a partir de Sexto de Primaria, los alumnos estudian conceptos simples de la geometría clásica que les permitirán introducirse en la representación gráfica más compleja.

Los alumnos podrán escoger diferentes campos de investigación de la geometría:

Geometría diferencial;

geometría algebraica;

geometría compleja;

geometría no conmutativa;

geometría no euclídea;

geometría aritmética;

geometría simpléctica y geometría de contacto;

geometría de Riemann...

Con la geometría denominada «clásica», en gran medida, te bastará para obtener una buena media en matemáticas.

No obstante, para convertirte en un verdadero «matemático» y continuar tu formación como profesor de matemáticas o maestro de Primaria, tendrás que tomar algunas clases complementarias sobre geometría teórica.

La elección de tu especialidad geométrica dependerá indudablemente de tus objetivos como matemático.

Puedes conocer mas acerca de la historia de la geometría en el siguiente video.

Propiedades de los ángulos

Imagina dos rectas en un plano. Hay dos posibilidades para dichas rectas: ya sea que se intersectan en cierto punto, o que nunca se intersectan. Cuando las rectas se intersectan, se forman cuatro ángulos. Entender cómo estos ángulos se relacionan unos con otros puede ayudarte a encontrar sus medidas, incluso cuando conoces la medida de sólo uno de ellos.

Paralelo y perpendicular

Las rectas paralelas son dos o más rectas que se intersectan. De la misma forma, los segmentos de recta paralelos son dos segmentos de recta que nunca se intersectan, incluso si los segmentos se convierten en rectas y continúan por siempre. Hay muchos ejemplos de rectas paralelas alrededor, en los dos lados de ésta página y en los estantes de un librero. Cuando ves que rectas o estructuras siguen la misma dirección, nunca se cruzan unas con otras, y mantienen la misma distancia entre ellas, es muy probable que sean paralelas.

Las rectas perpendiculares son dos rectas que se intersectan formando un ángulo recto (90º). Y segmentos de recta perpendiculares también se intersectan a 90º. También podemos ver ejemplos de rectas perpendiculares en todos lados — en la cuadrícula de un cuaderno, en el patrón de calles que se intersectan, las líneas de colores de una camisa a cuadros. En nuestras vidas diarias, podrías llamar perpendiculares a cualquier par de rectas que parecen intersectarse en ángulo recto. Sin embargo, cuando estudiamos geometría, necesitas asegurarte que las rectas se intersectan exactamente a 90º antes de declararlas perpendiculares.

La imagen siguiente muestra algunas rectas paralelas y perpendiculares. El símbolo geométrico para paralelo es , por lo que puedes tener . Las rectas paralelas también se pueden indicar con las marcas >> en cada recta (o sólo una marca > en cada recta). Las rectas perpendiculares se identifican con el símbolo , por lo que podemos escribir .

Ejemplo

Problema: Identificar un conjunto de rectas paralelas y un conjunto de rectas perpendiculares en la imagen siguiente.

Ejemplo

Problema

Identificar un conjunto de rectas paralelas y un conjunto de rectas perpendiculares en la imagen siguiente.






Las rectas paralelas nunca se encuentran, y las rectas perpendiculares se intersectan formando un ángulo recto.
y no se intersectan, pero si imaginas que se extienden, se intersectarán pronto. Entonces, no son ni paralelas ni perpendiculares.



es perpendicular a y a , como lo indica la marca de esquina en su intersección.



Como es perpendicular a ambas rectas, entonces y son paralelas.

Respuesta

En el siguiente video se explica mas sobre las propiedades de los ángulos

¿Qué son los ángulos?

¿Qué es un ángulo?

Un ángulo es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen un origen común. El ángulo es el arco que se forma a partir de la cruce de dos semirrectas, segmentos o rectas, pudiendo ser medido en grados (con el sistema sexagesimal) o en radianes.

Partes de un ángulo

En un plano, dos semirrectas con un origen común siempre generan dos ángulos.

En el dibujo podemos ver dos, el A y el B.

Están compuestos por dos lados y un vértice en el origen cada uno.

Tipos de ángulos

Hay varios tipos según su tamaño, es decir, en función de los grados que tenga:

Ángulo agudo: Mide menos de 90° y más de 0 °.

Ángulo recto: Mide 90° y sus lados son siempre perpendiculares entre sí. En esta entrada del blog puedes aprender todo sobre los ángulos rectos.

Ángulo obtuso: Mayor que 90° pero menor que 180°. Para saber todo sobre el ángulo obtuso, revisa este post del blog de Smartick.

Ángulo llano: Mide 180°. Igual que si juntamos dos ángulos rectos. Si quieres aprender más sobre ángulos llanos puedes leer este post de nuestro blog.

Con una imagen lo verás más fácil. Todo ángulo comprendido en la zona rosa es un ángulo agudo, y todo ángulo comprendido en la zona azul es un ángulo obtuso.

Ejemplos de ángulos en la vida cotidiana

A continuación veremos algunos ejemplos de ángulos en nuestra vida cotidiana.

En el cono del helado y en la separación de los siguientes dedos tenemos ángulos agudos, ya que su abertura es menor de 90º.

En la posición de los siguientes dedos en forma de L y en la esquina del corcho podemos observar los ángulos de 90°, rectos.

La apertura del abanico es mayor que 90° y menor que 180°, por lo cual tenemos un ángulo obtuso.

Y por último tenemos un brazo estirado formando un ángulo llano de 180°.

Ejercicios de ángulos

A continuación te dejamos varios ejemplos de ángulos que forman las agujas de un reloj. Escríbenos en comentarios y dinos qué tipo de ángulo es cada uno de ellos.

Presione clic en el siguiente video para conocer sobre los ángulos: