Funciones: qué son, concepto y tipos

¿Qué son las funciones?

En matemáticas se conoce que las funciones son esa relación que existe entre el dominio, que llega a ser un conjunto conocido como X y el codominio que llamaremos A cada uno de los elementos x le corresponde o se le debe asignar un elemento único f(x) que son los que le dan forma al rango o, mejor dicho, al ámbito. Para explicarlo de una forma más simple se puede decir que las funciones consisten en una relación que se crea entre dos magnitudes. Esto establece que el valor que tiene la primera es el mismo que debe tener la segunda.

La manera de ilustrar un conjunto de funciones es a través de un diagrama donde se implementan también el uso de flechas que sirven para la forma que se van asociando los elementos de cada conjunto. Esta no es la única manera ya que se puede ilustrar también con una tabla de valores, con expresiones algebraicas o usando las gráficas. El uso de una ilustración u otra va a depender de lo que se desee representar pues hay algunas que pueden funcionar de mejor manera.

Tipos de funciones

Existen diferentes tipos de funciones, su clasificación va de acuerdo a el comportamiento que presente. Además se toma en cuenta la relación que se pueda establecer entre sus variables. 

Funciones algebraicas

Las funciones algebraicas son todo un conjunto de funciones cuya característica más notable es que establecen una relación. Esta se puede componer de monomios o polinomios. Las relaciones se hacen evidentes en operaciones que se consideran básicas como la suma, la resta y algunas más. Dentro de este tipo de funciones existen las siguientes:

Funciones explícitas: Son aquellas funciones que tienen una relación que se obtiene de forma directa al sustituir el dominio X por el valor correspondiente. Es decir que la función explícita es en la que se encuentra la igualdad entre los valores de Y y la relación correspondiente al dominio X directamente.

Funciones Implícitas: Este tipo de funciones son aquellas en las que para dar con la relación existente entre el dominio y codominio, se necesita realizar algunas operaciones que implican el uso de polinomios pero de diferentes grados. En este tipo de funciones están las funciones de identidad en las que se ve una identificación clara entre el codominio y el dominio siendo los valores siempre iguales. Las funciones cuadráticas son aquellas en las que se introducen los polinomios donde la variable se comporta de manera no lineal. En el caso de las constantes que tienen un número real único que es el determinante que define la relación entre el dominio y codominio.

Funciones racionales: Son ese conjunto de funciones en las cuales se establece un cociente entre los polinomios que son diferentes de cero.

Funciones Irracionales: Son aquellas en las que se ve a una función racional que aparece dentro de una raíz.

Funciones definidas a trozos: Son esas en las que se ve que el valor de Y puede que cambie el comportamiento de las funciones.

 
Funciones trascendentales

Se conoce con el nombre de funciones trascendentales a aquellas en las que existen representaciones matemáticas que tienen una relación entre las diferentes magnitudes. Estas no se pueden obtener por medio de operaciones algebraicas sino que es necesario hacer un proceso. Esto puede resultar algo complicado de cálculos con el que se obtiene esa relación. En estas se debe incluir las funciones que necesitan el uso de derivadas, logaritmos, integrales y todo lo que implica un crecimiento. Puede que este crecimiento sea hacia arriba o hacia abajo y de manera continua. Dentro de estas funciones se encuentran:

Si quieres conocer mas sobre las funciones observe el siguiente video.

Los 10 Casos de Factorización

Factor común.
Factor común por agrupación de términos.
Trinomio cuadrado perfecto.
Diferencia de cuadrados.
Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción.
Trinomio de la forma X^2 + BX + C
Suma o diferencia de potencias.
Trinomio de la forma aX^2 + bX + c.
Suma y diferencia de cubos.
Raíces de un polinomio.

Caso #1 - Factoreo por factor común

Cuando en los diversos términos de un polinomio participa un mismo factor, se dice que se le saca como factor común, para lo cual, se escribe e inmediatamente, después, dentro de un paréntesis se anotan los cocientes que resulten de dividir cada uno de los términos del polinomio entre el factor común.

Ejemplo:

Otros ejemplos: a) 8X + 2Y = 2 * (4X + Y) (En este caso el factor común es 2)

b) a2 + 2a = a(a+2)

c) 10b + 30ab2 = 10b(1 + 3ab)

d) 10a2 + 5a + 15a3 = 5a(2a + 1 + 3a2)

e) 5a3b2x + 15a4bx2 − 35a2b2x4y5 = 5a2bx(ab + 3a2x − 7bx3y5 )

Caso #2 - Factoreo por agrupamiento

Algunas veces en un polinomio los términos no contienen ningún factor común, pero pueden ser separados en grupos de términos con factor común.

Este método consiste en formar grupos, los más adecuados, para factorizar cada uno como más convenga en cada caso y lograr finalmente la factorización total de la expresión.

Ejemplos: Factorizar:

a) 5a + 5b + ax + bx . Agrupando los términos que tengan algún factor común se tiene: 5(a+b)+ x(a+ b) = (a +b)(5 + x) o también a(5+ x)+ b(5+ x) = (a +b)(5 + x)

b) x2 +ax+bx+ab= x(x+a)+b(x+a)=(x+a)(x+b)

c) 8ax−bx+8ay−by) =8a(x+y)−b(x+y)=(x+y)(8a −b)

Caso #3 - Factoreo por Trinomio cuadrado perfecto.

En este caso se tiene un polinomio de grado dos y cuyas raíces están en el campo de los números reales, por ejemplo.

X^2 ± 2*a*X + a^2 = (X ± a)^2

Caso #4 - Factoreo por fiferencia de cuadrados.

Este es el caso de un producto de dos binomios cuya diferencia es solo el signo del segundo término.

(a + b) * (a – b) = a^2 – b^2

Caso #5 - Factoreo por Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción.

Este caso ocurre cuando se posee un trinomio cuadrado perfecto en el que no es posible obtener dos raíces iguales y en el campo de los números reales. Se suma y resta la cantidad necesaria para obtener la forma del trinomio deseado.

X^2 + 2X – 5 = (X^2 + 2X + 2) – 2 – 5 = (X + 1)^2 – 7

Caso #6 - Factoreo por Trinomio de la forma X^2 + BX + C

En este caso de factorización se tiene un trinomio que tiene raíces reales pero que no son ni repetidas ni siguen el del caso anterior. Para ello se deben conseguir las raíces del polinomio.

X^2 – 5X + 6 = (x – 3) * (x + 2)

Caso #7 - Factoreo por Suma o diferencia de potencias.

Se trata de descomponer factores que compartan una misma potencia.

X^3 + 27 = X^3 + 3^3 = (X + 3) * (X^2 – 3X + 9)

Caso #8 - Factoreo por trinomio de la forma aX^2 + bX + c.

Para este caso se puede factorizar utilizando la ecuación de la resolvente la cual es la siguiente:

X = - b ± √b^2 – 4*a*c / 2*a

4X^2 + 12X + 9

X = - 12 ± √(12)^2 – 4*4*9 / 2*4

X1 = X2 = -1,5

4X^2 + 12X + 9 = (X + 1,5) * (X + 1,5)

Caso #9 - Factoreo por Suma y diferencia de cubos.

Son de la siguiente forma:

a^3 ± b^3 = (a ± b) * (a^2 ± a*b + b^2)

Caso #10 - Factoreo por raíces de un polinomio.

Mas información referente a los casos de factoreo en el siguiente video.

Importancia de los polinomios en la vida cotidiana

Los polinomios son una combinación de varios términos que pueden sumarse, restarse o multiplicar pero no divididos. Son una de las operaciones algebraicas básicas, y muchos estudiantes de álgebra pueden preguntarse por qué tienen que molestarse en aprender acerca de ellos. Mientras los polinomios están en aplicaciones sofisticadas, también tienen muchos usos en la vida cotidiana.

Planeamiento financiero

Los polinomios pueden ser utilizados en la planificación financiera. Por ejemplo, una ecuación polinómica se puede utilizar para calcular la cantidad de interés que se devengará de una cantidad de depósito inicial en una inversión o cuenta de ahorros a una tasa de interés dada. Si una cuenta de ahorros con un depósito inicial de US$3.000 gana interés del 3 por ciento, entonces esta ecuación polinómica demuestra el interés ganado por tres años: Interés=(3000)(3%)(3). En esta situación, la cuenta de ahorro acumularía US$270 de intereses durante los tres años.

Construcción o planeamiento de materiales

Los polinomios se aplican a los problemas de la construcción o la planificación de materiales. Una ecuación polinómica se puede utilizar en cualquier situación de la construcción 2-D para planificar la cantidad de materiales necesarios. Por ejemplo, los polinomios pueden ser usados ​​para determinar la cantidad de área de superficie de un jardín que puede ser cubierto con una cierta cantidad de suelo. El mismo método se aplica a muchos proyectos de la superficie plana, incluyendo calzada, acera y la construcción del patio.

Presupuesto de gastos

Los polinomios son útiles cuando se trata de presupuestos o la planificación de gastos. Cuando necesitas obtener una determinada cantidad de dinero dentro de un cierto período de tiempo, los polinomios pueden ayudarte a determinar la cantidad exacta de tiempo que necesitas para ganar esa cantidad. Al predecir tus gastos y saber tu tasa de ingreso, puedes fácilmente determinar la cantidad de tiempo que necesitas trabajar. Si necesitas ganar US$4.000, puedes ganar US$350 por semana con tus gastos totales de US$75 por semana, entonces la ecuación es 350x-75x=4.000, donde x es la cantidad de semanas necesarias para trabajar. La solución de la ecuación es 14 1/2, lo que significa que tendrías que trabajar 14 1/2 semanas con el fin de ahorrar US$4.000.

Aceleración gravitacional

Los polinomios se utilizan también en los problemas científicos, entre ellos problemas de aceleración gravitacional. La ecuación polinómica debe incluir la posición del objeto inicial, que es la distancia desde el centro de la Tierra, su velocidad inicial y su aceleración debida a la gravedad, que es una figura constante. La aceleración estándar aceptada de gravedad es 32,17 pies por segundo al cuadrado (9,8 m/s2). Esa es una fórmula básica, y muchos otros aspectos tales como la resistencia del aire o de la densidad del aire son factorizados por un científico que busca una solución altamente específica.

Si desea conocer mas sobre la importancia de los polinomios de click en el siguiente video

Que es un polinomio

¿Qué significa polinomio?

Los polinomios no son más que una expresión algebraica, que parte de la unión de dos o más variables y constantes, las cuales están vinculadas gracias a una operación de suma, resta o multiplicación.

Gracias a que existen los polinomios, los conocedores de las matemáticas, pueden llegar a desarrollar diferentes cálculos y acercarse a una función derivada. Muchos ambiros científicos y de estudios, utilizan a los polinomios para realizar sus investigaciones, entre ellos la física, la química e inclusive la economía.

La historia de los polinomios

Ellos llevan el nombre de polinomio gracias a un matemático del siglo XVIII, cuyo nombre era Brook Taylor, nacido en Gran Bretaña. Pero quien descubrió a los polinomios fue un matemático y astrónomo de Escocia llamado James Gregory, gracias a que ellos fueron utilizados, se puede dar con aproximaciones polinómicas un entorno, en el cual podemos diferencias y aprovechar la estimación para la acotación de errores.

Este concepto primitivo, nos hacía ver que los polinomios respondían a una estructura algebraica, en donde todos los elementos pueden descomponerse como un producto de elementos primos, de manera que sus coeficientes, los cuales tienen 1 como su máximo común divisor.

¿Cómo se puede realizar una suma, resta o multiplicación de polinomios?

Para ello es necesario que se agrupen los diferentes monomios y se simplifiquen los resultados semejantes, esto en el caso de la suma o la resta. En cambio con la multiplicación debemos de tomar de un polinomio los términos de otros, simplificando finalmente los monomios que sean semejantes.

A parte debes de conocer que los polinomios no son número infinitos, esto quiere decir, que no llegan a ser formados por una cantidad infinita de términos.

En caso de que te preguntes por las divisiones, debes de saber que los polinomios no pueden ser divididos, por ende no se realiza esta operación con ellos.

Algo curioso de los polinomios, es que aunque los sumemos, restemos o multipliquemos el resultado siempre nos arrojará a otro polinomio.

Tipos de polinomios
Monomio

Es un polinomio que consta de un sólo monomio.

P(x) = 2x2
Binomio

Es un polinomio que consta de dos monomios.

P(x) = 2x2 + 3x
Trinomio

Es un polinomio que consta de tres monomios.

P(x) = 2x2 + 3x + 5

Grado de un polinomio

El grado de un polinomio es el mayor exponente al que se

encuentra elevada la variable x

Polinomio de grado cero

P(x) = 2

Polinomio de primer grado

P(x) = 3x + 2

Polinomio de segundo grado

P(x) = 2x2 + 3x + 2

Polinomio de tercer grado

P(x) = x3 − 2x2+ 3x + 2

Polinomio de cuarto grado

P(x) = x4 + x3 − 2x2+ 3x + 2

Para conocer mas sobre los polinomios click en el siguiente video.

Historia de las ecuaciones

Desde el siglo XVII aC los matemáticos de Mesopotámia y de Babilonia ya sabían resolver ecuaciones.

En el siglo XVI aC. los egipcios desarrollaron un álgebra muy elemental que usaron para resolver problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales. Ya para entonces tenían un método para resolver ecuaciones de primer grado que se llamaba el "método de la falsa posición". No tenían notación simbólica pero utilizaron el jeroglífico hau (que quiere decir montón o pila) para designar la incógnita. Alrededor del siglo I dC. los matemáticos chinos escribieron el libro Jiu zhang suan shu ( que significa El Arte del cálculo), en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones.

Los matemáticos griegos no tuvieron problemas con las ecuaciones lineales y, exceptuando a Diophante (250 d. de C.), no se dedicaron mucho al álgebra, pues su preocupación era como hemos visto, mayor por la geometría.

En el siglo III el matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su Aritmética en la cual, por primera vez en la historia de las matemáticas griegas, se trataron de una forma rigurosa las ecuaciones de primer grado. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental al designar la incógnita con un signo que es la primera sílaba de la palabra griega arithmos, que significa número. Los problemas de álgebra que propuso prepararon el terreno de lo que siglos más tarde sería "la teoría de ecuaciones". A pesar de lo rudimentario de su notación simbólica y de lo poco elegantes que eran los métodos que usaba, se le puede considerar como uno de los precursores del álgebra moderna.

El planteamiento de ecuaciones en matemáticas responde a la necesidad de expresar simbólicamente los problemas y los pensamientos. Sobre la vida de Diophante aparece en los siglos V o VI un epigrama algebraico que constituye una ecuación lineal, propuesto por un discípulo de Diofanto para explicar datos de la vida de este sabio griego.

¡Transeúnte!, en esta tumba yacen los restos de Diofanto. De la lectura de este texto podrás saber un dato de su vida. Su infancia ocupó la sexta parte de su vida, después transcurrió una doceava parte hasta que su mejilla se cubrió de vello. Pasó aún una séptima parte de su existencia hasta contraer matrimonio. Cinco años más tarde tuvo lugar el nacimiento de su primogénito, que murió al alcanzar la mitad de la edad que su padre llegó a vivir. Tras cuatro años de profunda pena por la muerte de su hijo, Diofanto murió. De todo esto, dime cuántos años vivió Diofanto.

Los griegos también resolvían algunos sistemas de ecuaciones, pero uti1izando métodos geométricos. Thymaridas (400 a.C.) había encontrado una fórmula para resolver un determinado sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Diophante resuelve también problemas en los que aparecían sistemas de ecuaciones, pero transformándolos en una ecuación lineal. Diophante sólo aceptaba las soluciones positivas, pues lo que buscaba era resolver problemas y no ecuaciones. Sin embargo, unas de las dificultades que encontramos en la resolución de ecuaciones por Diophante es que carece de un método general y utiliza en cada problema métodos a veces excesivamente ingeniosos.

Los sistemas de ecuaciones aparecen también en los documentos indios. No obstante, no llegan a obtener métodos generales de resolución, sino que resuelven tipos especiales de ecuaciones. El libro “El arte matemático”, de autor chino desconocido (siglo III a.C.), contiene algunos problemas donde se resuelven ecuaciones. En ellos encontramos un esbozo del método de las matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales por dicho método matricial.

En el siguiente video hay mas información respecto a la historia de las ecuaciones

¿Para Qué Sirven Las Ecuaciones?

Las ecuaciones son ejercicios matemáticos, en donde se tienen dos elementos o partes, las cuales se encuentran separadas por una igualdad; además de ello, suelen tener una incógnita, la cual puede ser descubierta por medio de los datos o elementos conocidos visibles, es decir; que por medio de los datos que se tienen, se puede descubrir la incógnita, que se puede encontrar en cualquiera de los dos elementos separados por el signo de igualdad.

Se puede decir que las ecuaciones sirven básicamente para resolver cualquier problema, bien sea de la vida diaria o imaginario, además de ello, también sirve para descubrir incógnitas dentro de las matemáticas (dichas incógnitas pueden ser abstractas o exactas, dependiendo del objetivo que tenga el ejercicio).

Función de las ecuaciones

Aunque las matemáticas pueden resultar complicadas para una gran parte de la población, la realidad es que estas pueden aportar una gran cantidad de beneficios; y las ecuaciones, aún más, ya que se pueden utilizar para:

Descubrir incógnitas de cualquier tipo (reales o no)

Uno de los principales beneficios que tienen las ecuaciones, es que estas permiten descubrir una incógnita, por medio de los datos que se tienen. Por ejemplo, si se tienen 12 caramelos, los cuales se deben entregar a 11 personas, la incógnita sería, la cantidad de caramelos que va a recibir cada persona. En este ejemplo, se han utilizado todos los datos que se tienen, para responder una duda. Lo mejor de las ecuaciones, es que se pueden adaptar a casi cualquier problema, los cuales pueden ser imaginarios o de la vida real (un claro ejemplo de esto, es el ejemplo anterior, el cual, puede llegar a ser un problema de la vida real, que puede recibir respuesta, por medio de las ecuaciones).

Entender el mundo y como funciona.

Muchas personas al estudiar, ven las matemáticas como algo innecesario y poco relevante, sin embargo, aunque no se utilicen directamente en el día a día, la realidad es que, las matemáticas se encuentran presente en todas partes, a raíz de ello, el comprenderlas, permite entender mejor el mundo entero.

Para ello, se debe entender que, los números son infinitos; y por ende, de alguna u otra manera, se encuentran en todas partes, incluso, en este texto, detrás de ellos existen números, los cuales permiten la visualización del mismo. Por esto, el entender las matemáticas y el como funcionan, ayuda a comprender el entorno en general.

Como dato importante, se debe destacar que las ecuaciones son una parte fundamental de todas las matemáticas, por ende, el comprenderlas, permite no solo entender mejor las matemáticas en si; si no que, también permite comprender el mundo entero.

Desarrollar la lógica del cerebro y entender más todo

La lógica humana permite que las personas puedan encontrar soluciones con mayor rapidez; y en general, ayuda a entender determinadas situaciones. Debido a la complejidad que pueden llegar a tener las ecuaciones, estas se pueden utilizar a desarrollar la lógica, ya que, obliga a las personas a tener en cuenta todos los datos del ejercicio, para intentar darle respuesta a una incógnita; todo esto, mientras se tienen en cuenta una serie de normas y parámetros, que hacen que un pequeño error, de un resultado equivocado.

Todo esto, es algo que se aprecia en la vida misma; donde hay problemas, que tienen un determinado número de soluciones, y si no se tienen en cuenta todos los datos presentes, jamás se podrá encontrar una solución al problema. Se podrán encontrar supuestas soluciones, pero estas, no serán más que un resultado erróneo, que no llevará a nada (o incluso, podría empeorar la situación, tal cual como sucede en las grandes ecuaciones, en donde se deben resolver muchos problemas matemáticos, para intentar descubrir la incógnita) solucionar problemas imaginarios o de la vida cotidiana. Como se explicó en el primer punto, las ecuaciones se pueden aplicar para resolver problemas cotidianos, ya que, por medio de estas, se pueden obtener respuestas, a raíz de una serie de datos números.

Además, también se pueden plantear problemas imaginarios complicados, para desarrollar la lógica, como también se ha explicado con anterioridad.

Para conocer mas sobre la utilidad de las ecuaciones observe el siguiente video

¿Qué es una ecuación?

Una ecuación en matemática se define como una igualdad establecida entre dos expresiones, en la cual puede haber una o más incógnitas que deben ser resueltas.

Las ecuaciones sirven para resolver diferentes problemas matemáticos, geométricos, químicos, físicos o de cualquier otra índole, que tienen aplicaciones tanto en la vida cotidiana como en la investigación y desarrollo de proyectos científicos.

Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas, y también puede darse el caso de que no tengan ninguna solución o de que sea posible más de una solución.

Partes de una ecuación

Las ecuaciones están formadas por diferentes elementos. Veamos cada uno de ellos.

Cada ecuación tiene dos miembros, y estos se separan mediante el uso del signo igual (=).

Cada miembro está conformado por términos, que corresponden a cada uno de los monomios.

Los valores de cada monomio de la ecuación pueden ser de diferente tenor. Por ejemplo:

constantes;

coeficientes;

variables;

funciones;

vectores.

Las incógnitas, es decir, los valores que se desean encontrar, se representan con letras. Veamos un ejemplo de ecuación.

Tipos de ecuaciones

Existen diferentes tipos de ecuaciones de acuerdo a su función. Conozcamos cuáles son.
1. Ecuaciones algebraicas

Las ecuaciones algebraicas, que son las fundamentales, se clasifican o subdividen en los diversos tipos que se de criben a continuación.
a. Ecuaciones de primer grado o ecuaciones lineales

Son las que involucran una o más variables a la primera potencia y no presenta producto entre variables.

Por ejemplo: a x + b = 0

Vea también: Ecuación de primer grado
b. Ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas

En este tipo de ecuaciones, el término desconocido está elevado al cuadrado.

Por ejemplo: ax2 + bx + c = 0
c. Ecuaciones de tercer grado o ecuaciones cúbicas

En este tipo de ecuaciones, el término desconocido está elevado al cubo.

Por ejemplo: ax3+ bx2 + cx + d = 0
d. Ecuaciones de cuarto grado

Aquellas en las que a, b, c y d son números que forman parte de un cuerpo que puede ser ℝ o a ℂ.

Por ejemplo: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0

2. Ecuaciones trascendentes

Son un tipo de ecuación que no se puede resolver solo mediante operaciones algebraicas, es decir, cuando incluye al menos una función no algebraica.
Por ejemplo:

3. Ecuaciones funcionales

Son aquellas cuya incógnita son una función de una variable.

Por ejemplo,

4. Ecuaciones integrales

Aquella en que la función incógnita se encuentra en el integrando.

5. Ecuaciones diferenciales

Aquellas que ponen en relación una función con sus derivadas.

Si desea conocer mas sobre las las ecuaciones, click en el siguiente video